Relation de Chasles

Propriété Relation de Chasles

Soit \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points du plan.
On a l'égalité vectorielle suivante  \(\boxed{\overrightarrow{\text{A}\color{blue}{\text{B}}} + \overrightarrow{\color{blue}{\text{B}}\text{C}} = \overrightarrow{\text{AC}}}\).

Remarque

Michel Chasles (1793-1880) est un mathématicien français ayant notamment réalisé de nombreux travaux en géométrie projective.

Démonstration

Soit \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points du plan.
On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) suivie de la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BC}}\) .
C'est la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AC}}\). En effet, l'image du point \(\text A\) par l'enchaînement de ces deux translations est le point \(\text C\).
D'autre part, par définition de la somme de deux vecteurs, la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) suivie de la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BC}}\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\).
On obtient donc \(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}}\).

Exemple

À l'aide de la relation de Chasles, on simplifie les expressions suivantes.

• \(\overrightarrow{\text{K}{\color{blue}{\text{S}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{S}}\text{O}}} =\overrightarrow{\text{KO}}\)
  
• \(\overrightarrow{\text{TA}} + \overrightarrow{\text{IT}} =\overrightarrow{\text{I}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{A}}}=\overrightarrow{\text{IA}}\)
  
• \(\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{TH}} + \overrightarrow{\text{AT}} =\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{A}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{A}}\text{T}}} + \overrightarrow{\text{TH}}=\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{H}}} =\overrightarrow{\text{MH}}\)
  
• \(\overrightarrow{\text{PR}} - \overrightarrow{\text{FO}} + \overrightarrow{\text{RO}} = \overrightarrow{\text{PR}} + \overrightarrow{\text{OF}} + \overrightarrow{\text{RO}} =\overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{R}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{R}}\text{O}}} + \overrightarrow{\text{OF}} = \overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{O}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{O}}\text{F}}} = \overrightarrow{\text{PF}}\)
  

Remarque

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points du plan.
On a \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{AA}} = \overrightarrow{0}\).